1 Вращение твердого тела вокруг точки
1.1 Углы Эйлера
Рассмотрим движение по отношению к системе отсчета
Ox1y1z1 твердого тела, закрепленного так, что одна его точка
О остается во все время движения неподвижной. Такое движение
совершает, например, волчок, у которого неподвижна точка его опоры
о плоскость, или любое другое тело, закрепленное в точке O
шаровым шарниром. Найдем, какими параметрами
определяется положение тела, имеющего неподвижную точку. Для этого
свяжем жестко с телом трехгранник Oxyz, по положению которого
можно судить о положении тела (рис. 1). Линия OK, вдоль которой
пересекаются плоскости Oxy и Ox1y1, называется линией
узлов. Тогда положение по отношению к осям
Ox1y1z1 трехгранника Oxyz, а с ним и самого тела можно
определить углами:
j = РKOx;y = Рx1OK;q = Рz1Oz |
| (1) |
Эти углы, называемые углами Эйлера, имеют следующие, взятые из
небесной механики наименования, j -
угол собственного вращения,
y - угол прецессии, q -
угол нутации.
Положительные направления
отсчета углов показаны на рис. 1 стрелками. Чтобы знать движение
тела, надо знать его положение по отношению к осям Ox1y1z1 в
любой момент времени, т.е. знать зависимости:
j = f1(t);y = f2(t);q = f3(t) |
| (2) |
Эти уравнения, определяющие закон происходящего движения,
называются уравнениями движения твердого тела вокруг
неподвижной точки.
Рис. 1
Рис. 2
1.2 Кинематические уравнения Эйлера
Найдем проекции угловой
скорости на подвижные оси координат. Примем (без доказательства),
что
Выполним дополнительное построение. Проведем плоскость, проходящую
через оси 0z и 0z1. Линию пересечения этой плоскости и
подвижной плоскости x0y обозначим 0L. Разложим
на компоненты
и
(рис. 1). Используя равенство
углов со взаимно перпендикулярными сторонами (0L^0K,
0x^0y), заметим, что угол между 0y и 0L равен
j. Отсюда, раскладывая компоненту
по осям 0x и 0y, получим
|
wx= |
Ч
y
|
sinjsinq+ |
Ч
q
|
cosj, |
|
wy= |
Ч
y
|
cosjsinq- |
Ч
q
|
sinj, |
|
|
|
|
|
Эти уравнения называются кинематическими уравнениями
Эйлера для определения
проекции угловой скорости на подвижные оси
координат при сферическом движении.
|